viernes, 27 de noviembre de 2015

FRACCIONES

Concepto de fracción

Fracciones propias e impropias

Fracciones decimales.

Simplificar fracciones. Fracción irreducible.

Reducción de fracciones a común denominaos. ordenar fracciones.

Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

Multiplicar y dividir fracciones

Concepto de fracción

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

4/5

denominador , indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
4

numerador , indica el número de unidades fraccionarias elegidas.

Representación de fracciones

Para representar fracciones dividimos la unidad en las partes que nos indique el denominador y tomamos las partes que nos indique el numerador

Clases de fracciones

Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor está comprendido entre cero y uno.

Ejemplo:

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.
Ejemplo:

Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

Ejemplo:

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una unidad o entero.

Ejemplo:

Si lo representamos tenemos :

¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divides a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Para saber si dos fracciones son equivalente podemos multiplicar en cruz, es decir el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el numerador de la segunda por el denominador de la primera y ambas multiplicaciones han de dar lo mismo.

2- Amplificación de fracciones
Amplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente pero con sus términos (numerador y denominador) mayores.
Para amplificar una fracción basta con multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número
Ejemplo :

Luego las fracciones 3 y 18 son equivalentes.
5 30

3- Simplificar una fracción
Simplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente pero con sus términos(numerador y denominador) más pequeños.
Para simplificar una fracción debe existir un número entre el que podamos dividir el numerador y el denominador de manera exacta.
Es decir, para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tienen que tener algún divisor común (no pueden ser primos entre sí)
Ejemplos de los dos casos:

Las fracciones que no se pueden simplificar más se les llama irreducibles, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.
- Aunque se puede empezar a simplificar dividiendo por cualquier número, se debe seguir un orden lógico (por ejemplo los primos: 2, 3, 5, ..), es decir, probamos dividir ambos entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

Simplificar fracciones

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.
1 Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.
2 Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.
3 Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
4 Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador, lo cual es equivalente a dividir numerador y denominador por la misma potencia de 10.
5 Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.
Ejemplo:

Fracciones irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, o lo que es lo mismo, cuando el mcd de ambos números es 1.
Ejemplo:

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:
1 Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2 Este denominador común se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Ejemplo:

12 = 2² · 3

9 = 3² · 3

m.c.m.(3. 12. 9) = 2² · 3² = 36

Ordenar fracciones

1 Ordenar fracciones con igual denominador

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo:

2 Ordenar fracciones con igual numerador

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

Ejemplo:

3 Ordenar fracciones con numeradores y denominadores distintos

En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.

Ejemplo:

Es menor la que tiene menor numerador.

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador calculando su mcm, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplo:

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1Por numerador el producto de numeradores.
2 Por denominador el producto de denominadores.

Ejemplo:

División de fracciones

La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1 Por numerador el producto de los extremos.
2 Por denominador el producto de los medios.

Ejemplo:

lunes, 23 de noviembre de 2015

Europa

lunes, 26 de octubre de 2015

TEMA: MÚLTIPLOS Y DIVISORES.

1- Concepto de múltiplo.
Se llama múltiplo de un nº a aquel que obtenemos al multiplicar ese nº por cualquier otro.
Ejemplo.
Escribe 5 múltiplos de 2. 2, 4, 6, 8, 10.

2- Concepto de divisor.
Decimos que un nº es divisor de otro cuando al dividirlo la división que se obtiene es exacta.

Ejemplo.
Escribe 5 divisores de 250. 2, 5, 10, 25, 250, ya que al dividir 250 entre cada uno de estos números se obtiene una división exacta.

Si un nº es múltiplo de otro, éste a su vez es divisor del anterior.
Ejemplo. 20 es múltiplo de 5, así que 5 es divisor de 20.

Consecuencias de la definición de múltiplo y divisor

1. El uno es divisor de cualquier número

2. Todo número es múltiplo y divisor de si mismo

3. El cero no es divisor de ningún número

4. El cero es múltiplo de cualquier número

5. El cero es el único múltiplo de cero

3. Criterios de divisibilidad

Un número es divisible entre dos si acaba en cero o cifra par

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es tres o múltiplo de tres

Un número es divisible entre 5 si acaba en cero o en cinco
Un número es divisible entre 7 cuando al multiplicar por 2 la cifra de las unidades y restarla al resto del número, el valor que obtenemos en 7 u otro múltiplo de 7.
Por ejemplo el número 343 es divisible entre 7 y lo demostramos así:
34-3 3x2=6 34 - 6 = 28 y 28 es múltiplo de 7
0 Un número es divisible por 10, 100.1000… si acaba en un cero, dos ceros…

Un número es divisible entre 11...

- Si tiene dos cifras éstas han de ser iguales (22, 33, 44,....)
- Si tiene tres cifras, la suma de las cifras de los extremos ha de dar igual a la cifra intermedia.
- Si tiene cuatro cifras o más, la suma de las cifras que ocupan los lugares pares al restarlo con la suma de las cifras de los lugares impares han de dar cero, o un múltiplo de 11, etc.

Otros criterios de divisblilidad

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

36, 400, 1028.

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 1503

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

4000, 1048, 1512.

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

8 + 1 = 9

3663

3 + 6 + 6 + 3 = 18, es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

500, 1025, 1875.

Criterio de divisibilidad por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

1000, 1 125, 4 250.

4. Números primos y compuestos

Un número es primo si no tiene más divisores que el mismo y la unidad.

Un número es compuesto cuando tiene tres o más divisores.

Los números primos de 0 a 100 son:

2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 7,71, 79, 83, 89, 97.

5. Descomposición factorial en factores primos

La descomposición factorial de un número en factores primos consiste en expresar el número como producto de números primos o potencias de números primos.

Para hacer la descomposición factorial de un número se empieza dividiendo entre dos si es posible todas las veces que sea necesario, luego entre tres, 5,7...hasta que el cociente sea 1.

Ejemplo:

60
30
15
5
1

2
2
3
5

60 = 2² ·3 ·5

6. Cálculo de los divisores de un número

Para calcular los divisores de un número se procede del siguiente modo:

1. Se hace la descomposición factorial en factores primos

2. Se escriben los factores primos obtenidos incluido el uno, y después los productos de dos factores primos de todas las formas posibles, de tres factores primos así sucesivamente hasta acabar.

Ejemplo: Calcular los divisores de 48:

48
24
12
6
3
1

2
2
2
2
3

Los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 24 ,48

Los productos posibles son: 2x2; 2x3; 3x3;

2x2x2; 2x2x3; 2x2x2x2; 2x2x2x3; 2x2x2x2x3

7. Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes.

Para calcular el máximo común divisor (M.C.D) se siguen los siguientes pasos:

1) Se efectúa la descomposición factorial de los números.

2) Se eligen los factores primos comunes con los menores exponentes

3) El máximo común divisor (M.C.D.) es el producto de los factores elegidos

Si no hay ningún factor común el M.C.D. es la unidad y los números son primos entre si.

Ejemplo: Halla el M.C.D. (60, 45, 36)

36
18
9
3
1

2
2
3
3

60
30
15
5
1

2
2
3
5

45
15
5
1

3
3
5

M.C.M (60, 45,36) = 2²· 3= 12

8. Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes.

Para calcular el (M.C.M) se siguen los siguientes pasos:

1) Se efectúa la descomposición factorial de los números.

2) Se eligen los factores primos comunes con los mayores exponentes y también los factores primos no comunes en todos ellos, siempre al mayor exponente.

3) El mínimo común múltiplo (M.C.M.) es el producto de los factores elegidos.

Ejemplo: Halla el M.C.M. (60, 45, 36)

36
18
9
3
1

2
2
3
3

60
30
15
5
1

2
2
3
5

45
15
5
1

3
3
5

M.C.M (60, 45,36) = 2²· 3²· 5 = 4. 9. 5= 180

9. Números Primos entre sí.

Decimos que dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el 1, es decir; su M.C.D. es 1

Ejemplo.
De los siguientes pares de números indicar cuales son primos entre sí.
a- 12 y 17.
M.C.D = 1
Son primos entre sí.
b- 24 y 16
M.C.D= 8
No son primos entre si, pues su M.C.D es diferente de 1.