POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

 CONTENIDOS:

1- Definición de potencia y sus elementos.
2- Propiedades de las potencias.
3-Raíces cuadradas.
4- Tipos de raíces cuadradas.
5- Cálculo de la raíz cuadrada.


1- Definición de potencia y sus elementos.
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

      5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

Los elementos que constituyen una potencia son:
La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.



2-  Propiedades de las potencias

1 Un número elevado a 0 es igual a 1

   

Ejemplo:

5⁰ = 1 

2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

Ejemplo:

5¹ = 5

 3 Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

     

Ejemplo:

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

4 División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

    

Ejemplo:

2⁵ : 2² = 2^{5 − 2} = 2³

 

5 Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

     

Ejemplo:

(2⁵)³ = 2¹⁵

6 Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

     

Ejemplo:

2³ · 4³ = (2 · 4)³=8³

7 Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

    

Ejemplo:

6³ : 3³ = (6:3)³ = 2³

 ^{Raíces cuadradas}

 La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

     
(Raíz)^índice = Radicando

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

     
     (Raíz)² = Radicando

Tipos de raíces cuadradas

1Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada de un número  es exacta cuando encontramos un número que elevado al cuadrado es igual al radicando:

Ejemplo:

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

     

Ejemplo:

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
Algunos de esos números son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

2Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Ejemplo:

^{Cálculo de la raíz cuadrada} 

Ejemplo:

1 Si el radicando tiene más de dos cifras separamos las cifras en grupos de dos, empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9. Entonces, tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto (es decir, del menor): 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3 El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.    

Separamos la 1ª cifra a la derecha (2) y nos quedamos con 49.

Dividimos 49 por el doble de la raíz obtenida anteriormente 2 · 2 = 4

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5En otra fila debajo de la raíz colocamos el doble de la misma. A continuación, se coloca el cociente que se obtenga. Y luego el número obtenido se multiplica por dicho cociente. Después, se resta a la cantidad operable del radicando.

Colocamos en otra fila el doble de la raíz, que en este caso es 4.    

Colocamos el cociente obtenido (9) a continuación del 4, obteniendo así el número 49.

Multiplicamos 49 por 9 y obtenemos 441

Restamos 441 a 492 (que es la cantidad operable del resultado).

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta encontrar un valor inferior.
 

Si el resultado de hacer 49 · 9 hubiese sido mayor que 492, habríamos probado a hacer 49 · 8, 49 · 7,...

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5124, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz.

8 Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir: