TEMAS 1 y 2. NÚMEROS NATURALES

1- Lectura y escritura de los números naturales.


Los números naturales surgen por la necesidad de contar. Al conjunto de los números naturales se representa por la letra N:
N={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Saber leer los númerso es muy importante para aprender matemáticas. 

1.2. El sistema de numeración decimal. Sistema posicional.

El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos.

En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas de millar...

D. de millón	U. de millón	C. de millar	D. de millar	U. de millar	Centenas	Decenas	Unidades
10.000.000	1.000.000	100.000	10.000	1000	100	10	1

Ejemplo: Descomposición del número 13.567.895

D. de millón	U. de millón	C. de millar	D. de millar	U. de millar	Centenas	Decenas	Unidades
10.000.000	1.000.000	100.000	10.000	1000	100	10	1
1	3	5	6	7	8	9	5

Para leer o escribir números con varios dígitos en el sistema decimal de numeración se deben hacer agrupamientos de tres cifras, de derecha a izquierda, a las que llamamos clase. Estas clases indican una posición horizontal como se puede observar en la siguiente ta

 Decimos que nuestro sistema de numeración es posicional porque cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa en el número.
Ejemplo:                13.567.895
                  5*100.000=            5*1=
                  500.000                   5
La cifra 5 tiene un valor diferente según el lugar que ocupa.

bla:
Para hacer la descomposición de un números nos ceñiremos al esquema anterior.

Así el número  Cinco billones dos mil tres millones ciento doce mil nueve se escribirá del siguiente modo:
5.002.003.112.009

Y su descomposición es la siguiente:
5UB+ 2UmM+ 3UM+1Cm+ 1Dm+ 1Um+ 9U= .5000.000.000.000+ 2.000.000.000+ 3.000.000+ 100.000+ 10.000+ 2.000+ 9

CÓMO NOMBRAR NÚMEROS MUY, PERO QUE MUY GRANDES. 
Una Cifra
5: Cinco Unidades y se lee "Cinco"

Dos Cifras
64: 4 unidades y 6 decenas y se lee "Seseta y Cuatro"

Tres Cifras
526: Seis Unidades, Dos Decenas y 5 Centenas y se lee "Quinientos Veinte seís"

Cuatro Cifras
7.892 Se lee " Siete Mil Ochocientos Noventa y Dos"

Cinco Cifras
52.365 Se lee "Cincuenta y Dos Mil trecientos Sesenta y Cinco"

Seís Cifras
452.635 Se lee "Cuatrocientos Cincuenta y Dos Mil Seicientos Treinta y Cinco"


Entramos a los Millones

Siete Cifras
2'525.634 Se lee Dos Millones Quinientos Veinte cinco Mil seiscientos Treinta y cuatro


Ocho Cifras
25'236.635 Se lee Veinte cinco Millones Docientos treinta y seis mil Seiscientos Treinta y Cinco

Nueve Cifras
263'263.878 Se lee " Docientos Sesenta y tres millones Docientos Sesenta y tres mil Ochocientos Setenta y Ocho"

10 Cifras
2'103.634.625 Se lee "Dos mil Ciento Tres Millones Seiscientos Treinta y cuatro Mil Quinientos Veinte Cinco"

11 Cifras
45`800.644.000 Se lee "Cuarenta y cinco mil ochocientos millones seiscientos cuarenta y cuatro mil"


Entramos a los Billones

12 Cifras
987 532'100.876: Se lee Un billón novecientos ochenta y siete mil quinientos treinta y dos millones cien mil ochocientos setenta y seis.

Trece Cifras
4 987 532'100.876 se lee " Cuatro Mil Novecientos Ochenta y siete Billones Quinientos treinta y dos millones cien mil Ochocientos Setenta y Seís"

Catorce Cifras
25 000 263'000.200 se lee " Veinte Cinco Mil Billones Docientos Sesenta y tres millones Docientos"


Quince Cifras
425 010 263'040.200 Se lee "Cuatrocientos Veinte cinco mil Diez Billones Seincientos Sesente y tres Millones Cuarenta Mil Docientos"

Dieciséis Cifras
4 300 000 785 000 540: Se lee Cuatro mil trescientos billones setecientos ochenta y cinco millones quinientos cuarenta.


Dieciocho Cifras
553 221 000 000 220 999 Se lee "Quinientos cincuenta y tres mil doscientos veintiún billones doscientos veinte mil novecientos noventa y nueve"



Luego si encuentras un número más grande básicamente se sigue el mismo procedimiento, después de billones siguen trillones, luego cuatrillones, quintillones, etc.

Por ejemplo

2 553 221 200 000 220 999 Se lee " Dos Trillones Quinientos Cincuenta tres mil docientos veintiun Billones Docientos Mil Millones Docientos Veinte Mil Novecientos Noventa y nueve"





A ver quien sabe nombrar este numerito.

6 372 553 221 200 000 220 999

2- Operaciones con números naturales.

SUMA
 7 + 5 = 12
Los términos que intervienen en una suma  se denomina sumandos.
El resultado  se denomina suma.

 Propiedades de la suma 
  Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

Ejemplo:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10

Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.

Ejemplo:

2 + 5 = 5 + 2
7 = 7

 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número.

Ejemplo:

a + 0 = a
3 + 0 = 3

RESTA

En una resta cualquiera 8-3 = 5

Los términos que intervienen en una resta se denominan:

8 se denomina minuendo.

3 se denomina sustraendo.

El resultado (5) se denomina diferencia.

Propiedades
La resta no tiene las propiedades conmutativa y asociatica. Sin embargo su elemento neutro también es el cero

MULTIPLICACIÓN

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
Por ejemplo, la multiplicación 2·5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.

     

Los términos que intervienen en una multiplicación se denominan:

2 y 5 e denomina factores

El resultado (10) se denomina producto

Propiedades
Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

   Ejemplo:

(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30

3 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.

   Ejemplo:

2 · 5 = 5 · 2
10 = 10

4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

Ejemplo:

3 · 1 = 1 · 3 = 3

5 Distributiva
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

Ejemplo:

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16

6 Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

Ejemplo:

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16

DIVISIÓN

D [_ d_____
        c

Los términos que intervienen en una división se denominan:

D se denomina dividendo

d se denomina divisor

El resultado (c) se denomina cociente

Tipos de divisiones

1 División exacta
Una división es exacta cuando el resto es cero.

2 División entera
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.

Propiedades
La división no tiene las propiedades conmutativa, asociativa. 
El elemento neutro de la división es el 1 porque cualquier nº dividido entre 1 da el mismo número. 

Cero dividido entre cualquier nº siempre da cero. 
Ningún nº se puede dividir entre cero. ecepto el cero.

3- Operaciones combinadas con números naturales.

Prioridad de las operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2 Efectuar las multiplicaciones y divisiones para ello podemos poner paréntesis en todas las multiplicaciones y divisiones que aparezcan en la expresión.
3 Realizar las sumas y restas en el orden en que aparezcan.

 Tipos de operaciones combinadas

Combinación de sumas y diferencias

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

1.2 Combinación de sumas, restas y productos

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =
= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

Posteriormente efectuamos las sumas y restas.

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

Efectuamos las sumas y restas.

Ejemplos.

6 · 3 − 12 : 2 + 7 - 4 · 3 =
= 18 − 6 + 7 - 12 = 7

4 · 3 − 8 + 7 · 2 − 10 + 2 · 6 =
= 12 − 8 + 14 − 10 + 12 = 20


 4- Proppiedades de los números naturales.

Propiedades de la suma

1. Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

Ejemplo:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10

2. Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.

Ejemplo:

2 + 5 = 5 + 2
7 = 7

4 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número.

Ejemplo:

3 + 0 = 3

Propiedades de la multiplicación

     

1. Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

     

Ejemplo:

(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30

3 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.

     

Ejemplo:

2 · 5 = 5 · 2
10 = 10

4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

     

Ejemplo:

3 · 1 = 1 · 3 = 3

5 Distributiva
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

    

Ejemplo:

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16

6 Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

    

Ejemplo:

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16

 5- Aproximaciones y estimaciones de números naturales.

Redondear o aproximar números

• El redondear números hace que sea más fácil trabajar con ellos mentalmente.
• Los números redondeados son solo aproximados.
• Generalmente no se puede obtener una respuesta exacta utilizando números redondeados.
• Utiliza el redondeo para obtener una respuesta aproximada pero que no necesite ser exacta.

Como redondear números
• Redondea los números que terminan entre 1 y 4 al número menor anterior terminado en cero. Por ejemplo 74 redondeado a la decena más próxima sería 70.
• Los números que terminan en un dígito de 5 o más deberán ser redondeados a la próxima decena. El número 88 redondeado a la próxima decena sería 90.

Redondear a la centena más próxima

Los números redondeados son más fáciles para cuando tienes que hacer calculos mentales. Los números redondeados son solo aproximados. No puedes tener una respuesta exacta con números redondeados. Algunas veces no se necesita una respuesta exacta.
Para redondear números a la centena más próxima, convierte los números que terminan de 1 a 49 al número inferior más próximo que termina en 00. Por ejemplo 424 redondeado a la centena más próxima sería 400. Los números que tienen los dos últimos dígitos iguales o mayores a 50 deberán ser redondeados a la centena mayor más próxima. El número 988 redondeado a la centena más próxima será 1000.

Redondear a la unidad de mil más próxima

Los números redondeados son más fáciles para cuando tienes que hacer calculos mentales. Los números redondeados son solo aproximados. No puedes tener una respuesta exacta con números redondeados. Algunas veces no se necesita una respuesta exacta.
Para redondear números a la unidad de mil más próxima, convierte los números cuyos tres últimos dígitos sean entre 001 y 499 al número inferior anterior terminado en 000. Por ejemplo 6424 redondeado a la unidad de mil más próxima es 6000. Los números cuyos tres últimos dígitos sean iguales o mayores a 500 se deberán redondear a la unidad de mil superior más próxima. El número 8788 redondeado a la unidad de mil más próxima es 9000.

ASÍ PODREMOS REDONDEAR AL RESTO DE LOS ÓRDENES

                                            Estimar operaciones con números naturales

Estrategias para una estimación matemática

Para estimar un número no se considera un criterio establecido.
La estimación se utiliza frecuentemente para realizar una operación de una manera más simple.
Por ejemplo, si un objeto tiene un precio de 9.990 euros  y se adquieren 8 de ellos, se puede estimar que se necesitará 80.000 euros 

9.990  lo redondeamos a à 10.000

y hacemos 10.000 ∙ 8 = 80.000 

Estimar una suma por redondeo

Una forma rápida de estima la suma de dos números es redondear cada número y luego sumarlos. Esta no será la respuesta exacta pero si lo suficientemente cercana para algunos usos.
Como estimar una suma por redondeo.

• Redondea cada término que se va a sumar
• Suma los números redondeados

Algunos usos del redondeo

• Verificar si tienes el dinero suficiente para comprar lo que quieres.
• Tener una idea aproximada del resultado correcto de un problema.

DE IGUAL MODO PODREMOS PROCEDER CON EL RESTO DE OPERACIONES (restas, multiplicaiones y divisiones)