FRACCIONES

• Concepto de fracción

• Fracciones propias e impropias

• Fracciones decimales.

• Simplificar fracciones. Fracción irreducible.

• Reducción de fracciones a común denominaos. ordenar fracciones.

• Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

• Multiplicar y dividir fracciones

Concepto de fracción

Concepto de fracción

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

      4/5

  5 denominador , indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
  4 numerador , indica el número de unidades fraccionarias elegidas.

Representación de fracciones

Para representar fracciones dividimos la unidad en las partes que nos indique el denominador y tomamos las partes que nos indique el numerador

 

Clases de fracciones

Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor está comprendido entre cero y uno.

Ejemplo:

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.
Ejemplo:

Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

Ejemplo:

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una unidad o entero.


Ejemplo:

 

Si lo representamos tenemos :

¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divides a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

 

Para saber si dos fracciones son equivalente podemos multiplicar en cruz, es decir el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el numerador de la segunda por el denominador de la primera y ambas multiplicaciones han de dar lo mismo.

 
2- Amplificación de fracciones
Amplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente pero con sus términos (numerador y denominador)  mayores.
Para amplificar una fracción basta con multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número
Ejemplo :     

Luego las fracciones  3    y 18     son equivalentes.
                                   5       30


3- Simplificar una fracción
Simplificar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente pero con sus términos(numerador y denominador) más pequeños.
Para simplificar una fracción debe existir un número entre el que podamos dividir el numerador y el denominador de manera exacta.
Es decir, para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tienen que tener algún divisor común (no pueden ser primos entre sí)
Ejemplos de los dos casos:

   

 

Las fracciones que no se pueden simplificar más se les llama  irreducibles, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.
- Aunque se puede empezar a simplificar dividiendo por cualquier número, se debe seguir un orden lógico (por ejemplo los primos: 2, 3, 5, ..), es decir, probamos dividir ambos entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

Simplificar fracciones

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.
1 Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.
2 Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.
3 Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
4 Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador, lo cual es equivalente a dividir numerador y denominador por la misma potencia de 10.
5 Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.
Ejemplo:

Fracciones irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, o lo que es lo mismo, cuando el mcd de ambos números es 1.
Ejemplo:

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:
1 Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2 Este denominador común se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Ejemplo:

12 = 2² · 3

9 = 3² · 3

m.c.m.(3. 12. 9) = 2² · 3² = 36

Ordenar fracciones

1 Ordenar fracciones con igual denominador

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo:

2 Ordenar fracciones con igual numerador

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

Ejemplo:

3 Ordenar fracciones con numeradores y denominadores distintos

En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.

Ejemplo:

Es menor la que tiene menor numerador.
 

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador calculando su mcm, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplo:

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1Por numerador el producto de numeradores.
2 Por denominador el producto de denominadores.

     

Ejemplo:

División de fracciones

La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1 Por numerador el producto de los extremos.
2 Por denominador el producto de los medios.

     

Ejemplo:  

Publicado por Isabel en 9:54 No hay comentarios: Enlaces a esta entrada

EJERCICIOS
1) Completa:
a) 33.000 l=.................kl
b) 1.200 cl= ............... l
c) 4,5 dal= …………..ml
d) 34,5 hl = ………….ml
e) 2.300 cl= ………… l
f) 3.500 l= …………dal
g) 0,5 l = …………..cl
h) 45,6 cl= ……….. dal
i) 23 dl = …………. hl
j) 135 ml = ……….. cl
k) 4,5 dl = ………… ml
l) 345dal=…………..cl
2) Ordena las medidas según se indican:
􀂾 123 hl 12 dal; 12kl 3hl 14l; 2kl 103 hl 8dal.
􀂾 4l 23 cl 45ml; 42dl 156ml; 18o cl 2.500ml.
De mayor a menor
2
3) Ordena las medidas según se indican:
􀂾 4kl 34hl 12 dal; 70hl 54dal; 2kl 5.420 l.
􀂾 13 dl 3cl 4 ml; 1l 4cl 23ml; 132cl 12ml.
4) Javier ha comprado el doble de litros de leche que de zumo. En total ha
comprado 12 botellas de 1,5 litros cada una. ¿Cuánto litros de zumo y cuántos de
leche ha comprado Javier?
5) Sé expresar en una sola unidad medidas dadas en varias unidades. Completa:
a) 10 dal 3,1 hl 3 dl. ..................l
b) 2,12 l 3,5 dl 8 ml= ..................l
6) Utilizo el cuadro de unidades para expresar una medida de dos formas. Utiliza el
cuadro de unidades y completa como en el ejemplo:
2,78 hl 2hl 78l
kl hl dal l dl cl ml
2 7 8
a) 3,4 l= ….l ….cl
b) 15,7 dal= ….dal….l
c) 5,2 hl= ….hl ….l
d) 6,2kl= ….kl ….l
7) Sé estimar medidas. Escribe en qué unidades expresarías las siguientes
medidas.
a) El peso de un rinoceronte.
b) El agua consumida en la ducha.
c) El peso de una magdalena.
d) La capacidad de un bote de refresco.
8) Carlos ha hecho 15 litros de refresco y ha llenado 13 botellas de 75 cl cada una.
El resto lo pone en botellas de 750 ml cada una. ¿Cuántas botellas de 750 ml ha
llenado?
9) Un frasco contiene 25 cl de jarabe. El médico le ha recetado a Patricia que tome
3 cucharadas diarias de 5 ml cada una. ¿Tiene suficiente jarabe para 12 días de
tratamiento?
De menor a mayor
3
10) Haz un cuadro con las unidades de capacidad y explica a un compañero el
proceso que hay que seguir para pasar: 2,04 dl; 3,6 l; 2,8 dl y 3ml a cl.
11) Indica en qué unidad expresarías:
a) El peso de una sardina.
b) La capacidad de una inyección.
c) La capacidad de una bañera.
12) Convierte las siguientes medidas en las que se indican
5 t =_________ kg 6 t = __________kg 2 t 5 q = __________kg
13) ¿Cuántos kilogramos transportará un camión que lleva 15 toneladas y media de
patatas?
14) Completa las siguientes igualdades;
4 kg =__________g 1,5 dg = _______ cg 3 g =_________mg
15) Luis quiere saber cuántos litros caben en un cubo. ¿Cómo lo puede calcular si
sólo dispone de una botella de medio litro?
16) Calcula los litros de zumo que hay en un caja que contiene 24 botellas de medio
litro.
17) ¿Cuántos frascos de 50 ml se pueden llenar con un litro de colonia?
18) Completa el siguiente cuadro:
48 hl 9 l 78 kl 2dal 31 l 8 dl 9 dl 87 ml
l l dl ml
5 t 23 q 45 t 64º kg 6 kg 220mg 5 kg 34 mg
kg kg g cg
19) Si con 25 gramos se prepara un bocadillo, cuántos bocadillos puedo hacer con 1
kilogramo y medio de salchichón.
4
20) En una tienda se han vendido 108 botellas de agua de un cuarto de litro y 46 de
medio litro. ¿Cuántos litros se han vendido en total?
21) ¿Cuánto cuestan tres bolsas de patatas de 5 kg cada una si el kg de patatas
cuesta 0’90 euros?
22) Relaciona cada magnitud con su posible medida:
tiempo 25 Kg.
temperatura 8, 2 l
capacidad 15 segundos.
masa 5 m.
25,7º
4 siglos.
23) Escribe la unidad principal de medida:
Longitud…………… Capacidad………………. Masa…………………
24) Completa:
1 l =……dl;1 cl =..........dl;1 Kl =……dal.;1 ml =……l;1 cl =……Hl;1 dal =……...cl
25) Transforma en l:
4 hl=…….. ;8 Kl = …….. ;3 dal = ……. ; 4 ml = ……. ; 6 cl =……… ;9 dl. ………
26) Transforma en dal:
12 Kl =……. ;6 ml =……. ;3 cl =…….. ;31 ml= ……. ;40 cl= …….. 178 hl =…….;
27) Las cucharillas de café tienen una capacidad de 2 ml. ¿Cuántas cucharadas hay
en un litro? ¿Cuántas cucharadas soperas de 5 ml.?
28) La fuente Chorrito arroja 7 litros de agua por minuto. ¿Cuántos dal. arrojará en
una hora?
29) Una piscina se llena con 250 Kl. ¿Cuántos dal serán necesarios para llenar 2/5
de la piscina?
5
30) Si 8 Hl. de un producto valen 720 euros, ¿cuánto valdrán 9 Kl?
31) Completa:
1 Kg = …..g ; 1 hg = …….mg ; 1 dg = ……Kg; 1cg = …..mg; 1 mg
= ……Kg; 1 hg =…..dag;
32) Transforma en g.:
3 kg =……..; 4 hg =…….. ; 3 dag =…… ; 12 mg = ……; 13
mg = …….; 16 cg = ………;
33) Transforma en dg.:
8 dag =…….; 6 mg =…….; 7 cg =……..; 12 Kg = ……..; 13 mg =……..;
8 cg = ………;
34) El cerdo blanco pesa 180 Kg. y el cerdo negro 1.700 hg. ¿Cuántos dg pesa más
el blanco que el negro?
35) Luis pesa 45 Kg., 17 Hg y Carlos 65 Kg., 14 dag. ¿Cuántos gramos pesan entre
los dos?
36) Un frutero compra 80 Kg. de manzanas a 0’45 euros el Kg. Si vende el Hg. a 0’75
euros., ¿Cuánto gana en la operación?
37) Si 4 Hg de cierta especia de la India vale 24 euros, ¿cuánto valdrá 8 mg.?
38) Expresa en forma incompleja:
3 dal, 8 l, 3 dl en cl =________________;
12 l, 3 dl, 4 cl. en l =________________;
2 dal, 8 l, 5 dl en dl =________________;
9ml, 8 cl. , 6 dl en l =________________;
5 l, 6 dal, 9 hl en Kl. =________________;
8 dl, 6 cl, 8 hl en l =_________________;
12 l, 18 dl, 3 cl en cl =_________________;
5kl, 50 dal, 38 l en ml =_______________.
39)Expresa en forma incompleja:
2 kg, 3 hg, 4 dg en g =..................; 8 mg, 3 cg, 6 dg en g = .................;
4 hg, 12 mg, 3 g en dag =..............; 7 cg, 8 dg, 9 mg en hg =..................;
6
6 hg, 4 g, 3 Kg en cg = .................; 53 kg, 7 g, 2 mg en cg =....................;

Porcentaje

 Porcentajes 
Un porcentaje es una fracción que tiene por denominador100. Nos dice que parte de un total representa una cantidad. Para calcular el porcentaje de una cantidad multiplicamos esa cantidad por el nº del porcentaje y la dividimos entre 100.

También podemos considerar el porcentaje como una multiplicación por un nº decimal, para ello procedemos del siguiente modo:
30%= 30/100= 0,30


 Ejemplo:
Calcula el 20% de 1200
1200X20= 24000; 24000: 100= 240.

También podemos calcularlo del siguiente modo:
20% de  1200= 20/100 de 1200= 0,20 X 1200= 240.

Problemas de porcentajes.
1- El prensado de 1.500 kg de aceituna produjo el 36%
de su peso en aceite. Calcula la cantidad de aceite
obtenida.
2- Si hoy han faltado a clase  por enfermedad el 20%
de los 30 alumnos/as, ¿cuántos alumnos han asistido?
¿Cuántos alumnos/as han faltado?
3- Los embalses de agua que abastecen a una ciudad
tienen  una  capacidad  total  de  400  km³ ,  y  se
encuentran al 27 % de su capacidad. ¿Cuantos km³
contienen?

¿ De cuántas formas sabes multiplicar?

e g l e t a s p a r a .. m u l t i p l i c a r John Napier, matemático escocés que vivió de 1550 a 1617, se preocupó siempre por encontrar métodos sencillos para realizar los cálculos numéricos. Como resultado de esta búsqueda inventó los logaritmos, que lo hicieron famoso y por lo cual pasó a la historia; pero inventó también una herramienta muy útil para multiplicar que se conoce como las Regletas de Napier. Construye tus propias regletas de Napier y aprende a usarlas Vamos a construir 10 regletas, para cada una necesitas una tira de cartón o cartulina de entre 10 y 15 cm de largo y de 1 a 3 cm de ancho. En cada tira deberás dibujar una cuadricula tal y como se muestra en la figura. este cuadrito no lleva diagonal . Para que puedas llenar todas tus regletas te damos aquí como ejemplo la del 1 y la del 9. Todas se hacen igual y deberás hacer una regleta para cada número del 0 al 9. La regleta del 1 - En la primera casilla escribe el número 1 - En las siguientes casillas escribe la tabla del 1, colocando las unidades por debajo de la diagonal y las decenas por arriba. . 1 1x1=01 1x2=02 1x3=03 1x4=04 1x5=05 1x6=06 1x7=07 1x8=08 1x9=09 La regleta del 9 - En la primera casilla escribe el número 9. - En las siguientes casillas escribe la tabla del 9, colocando las unidades por debajo de la diagonal y las decenas por arriba. 9 9x1=09 9x2=18 9x3=27 9x4=36 9x5=45 9x6=54 9x7=63 9x8=72 9x9=81 Ojo: Aunque la regleta del 0 quede llena de ceros es muy importante tenerla. También es muy importante que todas las regletas queden del mismo tamaño. ¿Cómo se usan las regletas de Napier? - Supongamos que queremos multiplicar 529 por 6. - Toma las regletas del 5, del 2 y del 9 y acomódalas de manera que en la parte de arriba quede escrito el número 529. 5 2 9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 - Fijate ahora en el renglón que corresponde a la multiplicación por 6 - En ese renglón suma los números que están en cada diagonal - Empieza de derecha a izquierda - Primera diagonal 4 - Segunda diagonal 5+2=7 - Tercera diagonal 1+0=1 - Cuarta diagonal 3 - Ahora lee el resultado de izquierda a derecha 3, 174 Asi 529 x 6=3, 174 m u l t i p l i c a r el método de la celosía El método de la celosía es un método para multiplicar números enteros que inventó un matemático italiano, Luca Pacioli, en el siglo XV. Funciona de la siguiente manera: Si queremos multiplicar 329 x 718, como cada número tiene tres dígitos entonces dibujamos una cuadrícula de 3 x 3 En la cuadrícula trazamos las diagonales como se muestran en el dibujo: Y escribimos uno de los números arriba y el otro a la derecha de la cuadrícula. 3 2 9 . 7 1 8 . Ahora empezamos la multiplicación, multiplicamos el número que está encima de cada columna, con el número que está a la derecha de cada renglón, escribiendo las decenas arriba de la diagonal y las unidades debajo. Así llenamos toda la cuadrícula. 3 2 9 . 7 1 8 . 3 X 7 = 21 3 X 1 = 03 3 X 8 = 24 2 X 7 = 14 2 X 1 = 02 2 X 8 = 16 9 X 7 = 63 9 X 1 = 09 9 X 8 = 72 1er renglón 2º renglón 3º renglón Ahora sumamos los números que quedaron en cada una de las diagonales, escribiendo el resultado justo debajo de la diagonal. Si quedan decenas en la suma de la diagonal, estas se llevarán a la siguiente. Es muy importante que empecemos por la diagonal que queda abajo a la derecha. * 9 + 7 + 6 = 22 escribimos 2 y llevamos 2 a la siguiente diagonal ** 2+3+2+1+4= 12 escribimos 2 y llevamos 1 a la siguiente diagonal *** 1 + 6 + 4 + 3 + 2 = 16 escribimos 6 y llevamos 1 a la siguiente diagonal Entonces el resultado de las sumas queda así: El resultado se lee como indica la flecha, de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha. Así .... 329 X 718 = 236,222 . ctividad 1 Realiza las siguientes multiplicaciones con el método de la celosía. 2 Haz varias multiplicaciones con el método de la celosía y con el método que usamos normalmente. - ¿Cuál te parece más sencillo? - ¿Cuál te parece más rápido? 3 A partir del siglo XV y por muchos siglos la gente multiplicó con este método. - ¿Por qué crees que hoy usamos otro? - Investiga de dónde surgió el método actual