Se llama múltiplo de un nº a aquel que obtenemos al multiplicar ese nº por cualquier otro.
Ejemplo.
Escribe 5 múltiplos de 2. 2, 4, 6, 8, 10.
2- Concepto de divisor.
Decimos que un nº es divisor de otro cuando al dividirlo la división que se obtiene es exacta.
Ejemplo.
Escribe 5 divisores de 250. 2, 5, 10, 25, 250, ya que al dividir 250 entre cada uno de estos números se obtiene una división exacta.
Si un nº es múltiplo de otro, éste a su vez es divisor del anterior.
Ejemplo. 20 es múltiplo de 5, así que 5 es divisor de 20.
Consecuencias de la definición de múltiplo y divisor
1. El uno es divisor de cualquier número
2. Todo número es múltiplo y divisor de si mismo
3. El cero no es divisor de ningún número
4. El cero es múltiplo de cualquier número
5. El cero es el único múltiplo de cero
3. Criterios de divisibilidad
- Un número es divisible entre dos si acaba en cero o cifra par
- Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es tres o múltiplo de tres
- Un número es divisible entre 5 si acaba en cero o en cinco
- Un número es divisible entre 7 cuando al multiplicar por 2 la cifra de las unidades y restarla al resto del número, el valor que obtenemos en 7 u otro múltiplo de 7.
- Por ejemplo el número 343 es divisible entre 7 y lo demostramos así:
- 34-3 3x2=6 34 - 6 = 28 y 28 es múltiplo de 7
- 0 Un número es divisible por 10, 100.1000… si acaba en un cero, dos ceros…
- Si tiene tres cifras, la suma de las cifras de los extremos ha de dar igual a la cifra intermedia.
- Si tiene cuatro cifras o más, la suma de las cifras que ocupan los lugares pares al restarlo con la suma de las cifras de los lugares impares han de dar cero, o un múltiplo de 11, etc.
Otros criterios de divisblilidad
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
36, 400, 1028.
Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
72, 324, 1503
Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
4000, 1048, 1512.
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
81
8 + 1 = 9
3663
3 + 6 + 6 + 3 = 18, es múltiplo de 9
Criterio de divisibilidad por 25
Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
500, 1025, 1875.
Criterio de divisibilidad por 125
Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.
1000, 1 125, 4 250.
4. Números primos y compuestos
Un número es primo si no tiene más divisores que el mismo y la unidad.
Un número es compuesto cuando tiene tres o más divisores.
Los números primos de 0 a 100 son:
5. Descomposición factorial en factores primos
La descomposición factorial de un número en factores primos consiste en expresar el número como producto de números primos o potencias de números primos.
Para hacer la descomposición factorial de un número se empieza dividiendo entre dos si es posible todas las veces que sea necesario, luego entre tres, 5,7...hasta que el cociente sea 1.
Ejemplo:
| 60 30 15 5 1 | 2 2 3 5 |
60 = 22 ·3 ·5
6. Cálculo de los divisores de un número
Para calcular los divisores de un número se procede del siguiente modo:
1. Se hace la descomposición factorial en factores primos
2. Se escriben los factores primos obtenidos incluido el uno, y después los productos de dos factores primos de todas las formas posibles, de tres factores primos así sucesivamente hasta acabar.
Ejemplo: Calcular los divisores de 48:
| 48 24 12 6 3 1 | 2 2 2 2 3 |
Los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 24 ,48
Los productos posibles son: 2x2; 2x3; 3x3;
2x2x2; 2x2x3; 2x2x2x2; 2x2x2x3; 2x2x2x2x3
7. Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes.
Para calcular el máximo común divisor (M.C.D) se siguen los siguientes pasos:
1) Se efectúa la descomposición factorial de los números.
2) Se eligen los factores primos comunes con los menores exponentes
3) El máximo común divisor (M.C.D.) es el producto de los factores elegidos
Si no hay ningún factor común el M.C.D. es la unidad y los números son primos entre si.
Ejemplo: Halla el M.C.D. (60, 45, 36)
| 36 18 9 3 1 | 2 2 3 3 | 60 30 15 5 1 | 2 2 3 5 | 45 15 5 1 | 3 3 5 |
M.C.M (60, 45,36) = 22· 3= 12
8. Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes.
Para calcular el (M.C.M) se siguen los siguientes pasos:
1) Se efectúa la descomposición factorial de los números.
2) Se eligen los factores primos comunes con los mayores exponentes y también los factores primos no comunes en todos ellos, siempre al mayor exponente.
3) El mínimo común múltiplo (M.C.M.) es el producto de los factores elegidos.
Ejemplo: Halla el M.C.M. (60, 45, 36)
| 36 18 9 3 1 | 2 2 3 3 | 60 30 15 5 1 | 2 2 3 5 | 45 15 5 1 | 3 3 5 |
M.C.M (60, 45,36) = 22· 32· 5 = 4. 9. 5= 180
9. Números Primos entre sí.
Decimos que dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el 1, es decir; su M.C.D. es 1
Ejemplo. Decimos que dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el 1, es decir; su M.C.D. es 1
De los siguientes pares de números indicar cuales son primos entre sí.
a- 12 y 17.
M.C.D = 1
Son primos entre sí.
b- 24 y 16
M.C.D= 8
No son primos entre si, pues su M.C.D es diferente de 1.
