POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

 CONTENIDOS:

1- Definición de potencia y sus elementos.
2- Propiedades de las potencias.
3-Raíces cuadradas.
4- Tipos de raíces cuadradas.
5- Cálculo de la raíz cuadrada.


1- Definición de potencia y sus elementos.
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

      5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

Los elementos que constituyen una potencia son:
La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.



2-  Propiedades de las potencias

1 Un número elevado a 0 es igual a 1

   

Ejemplo:

5⁰ = 1 

2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

Ejemplo:

5¹ = 5

 3 Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

     

Ejemplo:

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

4 División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

    

Ejemplo:

2⁵ : 2² = 2^{5 − 2} = 2³

 

5 Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

     

Ejemplo:

(2⁵)³ = 2¹⁵

6 Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

     

Ejemplo:

2³ · 4³ = (2 · 4)³=8³

7 Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

    

Ejemplo:

6³ : 3³ = (6:3)³ = 2³

 ^{Raíces cuadradas}

 La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

     
(Raíz)^índice = Radicando

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

     
     (Raíz)² = Radicando

Tipos de raíces cuadradas

1Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada de un número  es exacta cuando encontramos un número que elevado al cuadrado es igual al radicando:

Ejemplo:

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

     

Ejemplo:

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
Algunos de esos números son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

2Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Ejemplo:

^{Cálculo de la raíz cuadrada} 

Ejemplo:

1 Si el radicando tiene más de dos cifras separamos las cifras en grupos de dos, empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9. Entonces, tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto (es decir, del menor): 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3 El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.    

Separamos la 1ª cifra a la derecha (2) y nos quedamos con 49.

Dividimos 49 por el doble de la raíz obtenida anteriormente 2 · 2 = 4

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5En otra fila debajo de la raíz colocamos el doble de la misma. A continuación, se coloca el cociente que se obtenga. Y luego el número obtenido se multiplica por dicho cociente. Después, se resta a la cantidad operable del radicando.

Colocamos en otra fila el doble de la raíz, que en este caso es 4.    

Colocamos el cociente obtenido (9) a continuación del 4, obteniendo así el número 49.

Multiplicamos 49 por 9 y obtenemos 441

Restamos 441 a 492 (que es la cantidad operable del resultado).

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta encontrar un valor inferior.
 

Si el resultado de hacer 49 · 9 hubiese sido mayor que 492, habríamos probado a hacer 49 · 8, 49 · 7,...

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5124, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz.

8 Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

     

Método para la resolución de problemas

Ejercicios para reforzar el cálculo con potencias

Ejercicios con potencias

El universo:

LA LUNA

Nuestro huerto

Las obras de arte de mis alumnos

Están todas preciosas.
Y ahira estamos conociendo la obra de Frida Kalho

ESQUEMA LOS ANIMALES

EL REINO DE LOS ANIMALES

Vertebrados: - Esqueleto interno, columna vertebral,(cabeza, tronco y cola) cuatro extremidades

                   -  Heterótrofos

         Invertebrados –Cuerpo con caparazón, concha, placa o blando

                                 -Heterótrofos

-  Herbívoros o carnívoros u omnívoro

-  Ovíparos

VERTEBRADOS

1 Los mamíferos: Temperatura corporal constante

                               Cuerpo total o parcial cubierto de pelo

                               Herbívoros, carnívoros u omnívoros

                               Respiración pulmonar

                               Vivíparos y glándulas mamarias

                               Grupos (20): Roedores, Carnívoros, primates, marsupiales cetáceos…

2. Aves -Temperatura corporal constante

              -Extremidades: - Alas, patas

               .Cuerpo con plumas, picos

              - Herbívoros o carnívoros 

               -Pulmones conectados a sacos  aéreo

               - ovíparos    

               -Grupos: Aves voladoras y no voladoras

 3. Reptiles   -Temperatura corporal no es constante

                     -Cuerpo total o parcial cubierto escamas                

                     - Cuatro patas o reptan

                     -Herbívoro o carnívoros                                        

                     - Respiración pulmonar

                    - Ovíparos

                   -Grupos: Tortugas (galápagos), lagartos (lagartijas), serpientes y cocodrilo

4 Anfibios -Temperatura corporal no es constante

                  -Cuatro patas y dedos unidos por una membrana

                   - herbívoros y adultos carnívoros                      

                  -Branquias. Adultos pulmones y piel

                   -Ovíparos

5. Peces  -Temperatura corporal no es constante

               -  Herbívoros, carnívoros u omnívoros                   

               - Respiran por branquias

                --Ovíparos

INVERTEBRADOS

1. Artrópodos - Esqueleto externo                                   

                        - Patas articuladas

                         - Herbívoros, carnívoros u omnívoros         

                         -Respiran por branquias o tráqueas

                        - Grupos: insectos, arácnidos crustáceos y miriapodos

2. Moluscos  - Cuerpo blando o concha

                       - Herbívoros, carnívoros u omnívoros              

                        -Branquias o pulmones sencillos

                      - Grupos: Gasterópodos, bivalvos y cefalópodos

3. Anélidos o Gusanos  - Cuerpo blando, alargado, dividido en anillos y quetas para moverse

                                       - Herbívoros, carnívoros u omnívoros              

                                       -Branquias o cutánea

4 .Equinodermos  - Cuerpo con piel con placas duras y rígidas o espinas

                               -Herbívoros o carnívoros                     

                              -Respiran por branquias o piel

                                - Grupo: Las estrellas y los erizos de mar

5. Cnidarios    - Cuerpo forma de saco y tienen tentáculos

                         - Carnívoros 

                          -Respiración cutánea

                        - Grupo: Pólipos y medusas

6. Poríferos o esponjas – Cuerpo forma de saco con poros.

                            -Toman el oxigeno del agua

Reino Animal: Vertebrados e Invertebrados

1- El gran reino animal Está formado por todos los animales. Sus características principales son: - Se alimentan de plantas o de otros animales - Se relacionan con el exterior a través de los movimientos (andan, vuelan o nadan) y a través de los órganos  de los sentidos Los animales pueden clasificarse en dos grupos: - Animales vertebrados - Animales invertebrados 2- Los Animales vertebrados  Son un grupo de animales con un esqueleto interno articulado, que actúa como soporte del cuerpo y permite  su movimiento.   2.1- Características - Tienen columna vertebral, formada por un serie de piezas articuladas o vértebras, que permiten algunos movimientos y les dan cierta flexibilidad - El cuerpo está dividido en cabeza, tronco y extremidades - Hay individuos machos e individuos hembras. 3- Clasificación de los vertebrados Los vertebrados se clasifican en cinco grupos: - Mamíferos - Aves - Peces - Anfibios - Reptiles 3.1- Los mamíferos   - Tienen  su  cuerpo  cubierto de  pelo. - Sus  extremidades tienen generalmente forma  de patas, que les permiten desplazarse.  Los mamíferos acuáticos  como los delfines o las  ballenas  tienen sus extremidades transformadas en aletas y  los mamíferos voladores  como los murciégalos poseen  membranas  en sus extremidades anteriores  que  les  sirven de alas. - Su temperatura corporal es  constante, es  decir, la  temperatura  de  su cuerpo  no varia si  cambia  la  temperatura  exterior. Decimos  que  son  animales de sangre  caliente.    - Respiran por pulmones, que les permiten tomar el oxígeno del aire. Los mamíferos acuáticos, como el delfín, necesitan salir a la superficie del mar para tomar oxígeno del aire. - Su boca tiene labios y dientes. Los labios permiten succionar la leche al mamar sin causar daño. Algunas ballenas no tienen dientes, sino unas finas láminas llamadas barbas. 3.2- Las aves   - Su cuerpo está cubierto de plumas. - Sus extremidades anteriores tienen forma de alas. Las aves vuelan gracias a los movimientos de sus alas,  aunque algunas aves no son capaces de volar, como las avestruces o los pingüinos. - El esqueleto es muy ligero, ya que los huesos son huecos. Además, algunas aves poseen unas bolsas,  llamadas sacos aéreos, que están llenas de aire y facilitan el vuelo. - La temperatura corporal es constante, es decir, son animales de sangre caliente. - Respiran por pulmones. - La boca posee un pico sin dientes, que varía mucho de unas especies a otras según su alimentación. 3.3- Los peces   - Su cuerpo está cubierto de escamas. - Sus extremidades tienen forma de aletas. Su cuerpo termina en un aleta más fuerte que forma la cola.  - Su esqueleto es el más sencillo de los vertebrados. La mayoría de los peces tienen esqueleto óseo,  con huesos en forma de espina. Algunos peces, como el tiburón y la raya, tienen un esqueleto cartilaginoso,  formado por piezas más blandas y flexibles que los huesos, llamadas cartílagos. - La temperatura corporal es variable, es decir, depende de la temperatura del agua en la que se encuentran.  Por eso decimos que son animales de sangre fría. - Casi todos los peces tienen vejiga natatoria, que es como una bolsa llena de aire que evita que se hundan. - Los peces respiran por branquias, que son un grupo de finas láminas dispuestas en varias hileras.  Las branquias están  situadas detrás de la cabeza, y les permiten obtener el oxígeno disuelto en el agua. 3.4- Los anfibios   - Su piel está desnuda y húmeda. - Sus extremidades son patas musculosas, que les permiten nadar o saltar. - La temperatura corporal es variable, es decir, son animales de sangre fría. - Las crías nacen en el agua y respiran por branquias, mientras que los adultos viven en la tierra y en el agua, y respiran por la piel y por los pulmones. - Se alimentan de insectos, lombrices y otros pequeños animales. - Son ovíparos: se reproducen por huevos. La fecundación suele ser externa. La hembra pone los huevos  en el agua y el macho los fecunda. en el agua los huevos se pegan unos a otros, y forman voluminosos racimos. 3.5- Los reptiles   - Su cuerpo está cubierto de escamas. - Sus extremidades tienen forma de patas, que suelen ser muy cortas. Algunos reptiles, como las serpientes,  no tienen patas. - Su temperatura corporal es variable, es decir, son animales de sangre fría. Por ello suelen vivir en ambientes cálidos, y se aletargan durante el invierno. - Respiran por pulmones. - La mayoría son carnívoros. En la boca suelen tener muchos dientes, todos del mismo tamaño, con los  que retienen a sus presas. - Son ovíparos, es decir, se reproducen por huevos. - Su fecundación es interna. El macho se aparea con la hembra y se forman huevos fecundados.  la hembra pone los huevos sobre la hierba o los entierra. - Algunos reptiles, como la víbora, son ovovivíparos: Los huevos se abren dentro del cuerpo de la madre y nacen las crías vivas.  4- Los Animales invertebrados - Los invertebrados carecen de columna vertebral y de esqueleto interno articulado. - La mayoría de los invertebrados tienen una protección externa, como si fuera una armadura, como los escarabajos, pero hay invertebrados que no tienen ningún tipo de protección, como los pulpos.   Los invertebrados se clasifican en varios grupos: - Los artrópodos - Los moluscos - Los gusanos - Los equinodermos - Las medusas - Las esponjas 4.1- Los artrópodos Se caracterizan porque tienen su cuerpo y sus patas articulados, es decir, divididos en piezas que se mueven. Los grupos más importantes son: - Los insectos - Los arácnidos - Los crustáceos - Los miriápodos A- Los insectos   Son los artrópodos mas abundantes. Tienen las siguientes características: - Su cuerpo esta dividido en cabeza, tórax y abdomen - Tienen dos antenas en la cabeza , y seis patas en el tórax - Son terrestres y respiran por tráqueas, que son tubos situados en el abdomen por los que recogen el aire B- Los arácnidos - Su cuerpo está dividido en cefalotórax y abdomen. El cefalotórax es una pieza única que engloba la cabeza  y el tórax - Carecen de antenas. En la boca poseen unas pinzas que les sirven para comer, y en el cefalotórax tienen ocho patas - Son terrestres y respiran por tráqueas C- Los crustáceos - Su cuerpo está dividido en cefalotórax y abdomen -  Poseen dos antenas en la cabeza y la mayoría tienen diez patas en el cefalotórax  Algunos  crustáceos , como el cangrejo , tienen las patas delanteras transformadas en pinzas - La mayoría son acuáticos y respiran por branquias D- Los miriápodos   - Su cuerpo está dividido en cabeza y tronco - Poseen dos antenas en la cabeza. El tronco está formado por muchos segmentos o anillos articulados,  provistos de uno o dos pares de pares de patas cada uno - Son terrestres y respiran por tráqueas 4.2- Los moluscos                              Son los invertebrados más abundantes. - Todos ellos tienen el cuerpo blando - Suelen tener una concha externa, como el caracol; aunque a veces la concha es interna, como el calamar;  o no tienen concha, como la babosa Se dividen en tres grupos: - Los gasterópodos - Los bivalvos - Los cefalópodos A- Los gasterópodos - Tienen una concha de una sola pieza - Sus ojos se encuentran en el extremo de unos tentáculos, que repliegan en caso de peligro - La mayoría de los gasterópodos son marinos, como el bígaro, y respiran por branquias. Los terrestres,  como el caracol, respiran por pulmones B- Los bivalvos  - Su concha tiene dos piezas llamadas valvas. Por eso se llaman bivalvos - No tienen cabeza diferenciada - Viven en el mar, normalmente sujetos a las rocas o en la arena, y respiran por branquias C- Los cefalópodos  - No tienen concha externa - Algunos, como el calamar, llevan una bolsa de tinta para enturbiar el agua y huir sin ser vistos - En la cabeza poseen largos tentáculos - Viven en el mar y respiran por branquias  4.3- Los Gusanos Los gusanos tienen las siguientes características: - Tienen el cuerpo alargado y blando,  generalmente formado por anillos - Suelen vivir en suelos húmedos o en el agua - Algunos  gusanos  son  parásitos  y  se  alimentan  de  sus  victimas  como  la  tenia  que  vive  en  el  intestino  humano 4.4- Equinodermos Los equinodermos tienen las siguientes características: - Son animales marinos con simetría radial, como la que tienen la rueda de una bicicleta o una margarita - Se desplazan por el fondo del mar gracias a una especie de pequeños pies que poseen en la parte inferior del cuerpo - Las estrellas de mar tienen un esqueleto externo formado por placas caliza 4.5- Las medusas Las medusas tienen las siguientes características: - Son animales  casi  transparentes que  flotan  en  el  agua. - Su  cuerpo  es  blando  y tiene forma  de paraguas. En la parte inferior esta  la boca rodeada de unos brazos que sirven para acercar el alimento. - Tienen  sustancias tóxicas en su piel, que provocan serias irritaciones a los bañistas. - Una de las más frecuentes en nuestras costas es la medusa Aurelia. 4.6- La esponja La esponja tiene las siguientes características: - Tiene el aspecto de una planta, pero en realidad la esponja es un animal muy sencillo. - Las esponjas son animales con forma de saco, con un agujero superior y muchos poros laterales.  - Viven en el agua, generalmente sujetas a las rocas. - Filtran el agua a través de sus poros y retienen las sustancias que les sirven de alimento.