MATEMÁTICAS

 TEMA: ESTADÍSTICA





CONTENIDOS

Definición de estadística.
Conceptos básicos.
  1. Organización de datos: tablas y frecuencias.
  2. Medidas de centralización
    Media Aritmética
    Moda
    Mediana
  3. Medidas de Dispersión
    Rango o recorrido
  4. Gráficos
    Diagrama de barras.
    Polígono de frecuencias.
    Diagrama de sectores.


La estadística es la ciencia que tiene por objeto la recogida, recopilación y organización de datos su representación en tablas y gráficos y el cálculo de unos valores que representan al conjunto de datos y posteriormente se establecen unas conclusiones basándonos en los resultados obtenidos en una muestra.

Conceptos básico que vamos a tratar:
Llamamos variables estadísticas a cada una de las cualidades que sen va a estudiar en una población
Decimos que una variable es cuantitativa cuando ésta tiene valores numéricos y cualitativa si los valores son de otro tipo (no numéricos).
Población es el colectivos de individuos sobre el que vamos a realizar el estudio.
Pero como realizar el estudio sobre toda la población es casi imposible se toma una muestra representativa de ésta. Su tamaño es el número de individuos que la forman.

1- Organización de datos: tablas y frecuencia.
Cuando recogemos los datos en un estudio estadístico nos encontramos con una gran cantidad , resultando difícil interpretarlos; por ello es imprescindible organizarlos para lo cual utilizamos una serie de tablas llamadas tablas de frecuencias en las que se plasman los datos recogidos de forma clara y precisa además en ella se representa el número de veces que se repite cada valor (frecuencia absoluta).
Dividiendo las frecuencias absolutas por el número total de datos que tenemos obtenemos la frecuencia relativa.
Si calculamos el valor decimal de las frecuencias relativas y lo multiplicamos por 100 obtendremos los porcentajes de cada valor. La suma de todos los porcentajes ha de darnos 100% o un valor aproximado ( ej. 99,98 %)



2- Medidas de centralización

  • Media Aritmética.
    Es el cociente entre la suma de todos los datos y el número de estos.
    Cuando tenemos una serie de valores y unas frecuencias absolutas asociadas a esos valores, multiplicaremos cada uno de esos valores por su frecuencia absoluta; sumamos los resultados obtenidos y después dividiremos dicha suma entre el total de todas las frecuencias absolutas.
Ejemplo:
Calcula la media aritmética de las siguientes notas obtenidas por un alumno de 6º de E.P. En Matemáticas en el tercer trimestre:
7, 8, 5, 8, 10, 7, 5

_      5x2 + 7x2 + 8 + 9 + 10         51
X =-------------------------------------- =   -------- =    7,28

                 7                                7

  • Moda.
Es el dato que tiene mayor frecuencia absolutas, es decir el dato que más se repite.
Ejemplo:
La moda del ejemplo anterior serían dos notas el 5 y el 7, así que se trata de un estudio bimodal.

  • Mediana
Para hallar la mediana en un conjunto de dato, primero hemos de ordenar los datos y buscaremos los datos que ocupen el valor central.
Por ello decimos que la mediana es el valor que ocupa la posición central en un conjunto ordenado de datos, de forma que el número de datos mayores que él ser´ña igual al número de datos menores que él.

Para calcular la mediana se procede del siguiente modo:
  • Se ordenan los datos de menor a mayor.
  • Si el nº de datos es impar, la mediana es el valor central.
  • Si el nº de datos es par, la mediana es la media aritmética de los valores centrales.
Ejemplo:
Hallar la mediana de los datos del ejercicio anterior.

  • Primero ordenamos os datos de menor a mayor: 5, 5, 7, 7, 8, 9, 10
  • Como el nº 7 se encuentra en la posición central respecto a los datos diremos que
la mediana será 7.


Si por el contrario el número de datos fuese un nº par procederemos del siguiente modo:

La notas ahora son las siguientes: 5, 5, 7, 7, 8. 9. 9, 10
Como los valores centrales los ocupan los números 7 y 8. Calculamos la media de estos dos valores

7 + 8      15
------- = ----- =  7,5   Lo que nos lleva a decir que la mediana de este conjunto de notas será 7,5.
   2         2
Ahora vamos a plantear varios ejemplos:

1- Se ha lanzado 20 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y se han obtenido los siguientes resultados:
6,3,3,1,4,6,6,2,1,2,2,3,5,6,3,1,2,1,1,4
Efectúa el recuento y forma una tabla con los datos en la que aparezca la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.
Calcula la media aritmética, la moda y la mediana.
Representa estos datos en un diagrama de barras.
Como es muy difícil manejar esa cantidad de datos recogidos procedemos a colocarlos en una tabla organizada en la que expresaremos las frecuencia en las que aparecen dichos datos.


Las temperaturas mínimas de Málaga durante un mes del invierno fueron:
12, 11, 10, 11, 9, 12 ,11 ,10 ,7, 7, 9, 10, 11, 12, 11, 12, 11, 7, 9, 9 ,11 ,12 ,10. 11, 10, 10 ,9, 11, 11, 12
a- Efectúa el recuento.
b- Forma la tabla de frecuencias y porcentajes.


c- Calcula la temperatura media en ese mes.
d- Los picos térmicos.
e- Representa los datos en un diagrama de barras.


En una granja se ha pesado cada huevo. Los pesos expresado en gramos son:
51, 65, 52, 51, 64, 65, 60,64, 52, 53, 60,61,54,61,62, 54, 64, 65, 52, 53, 54, 54, 61, 62, 54, 54, 51.

a- Efectúa el recuento y forma la tabla estadística.
b- Calcula el peso medio de los huevos.
c- Calcula la moda.
d- Representa los datos en un diagrama de barras.

    INCOMPLETO
 ___________________________________



TEMA: CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).


A- CUERPOS REDONDOS
Son los que tienen alguna cara que es una superficie curva.
Se pueden clasificar en: Cilindro, cono y esfera.
   
 Elementos de los cuerpos redondos
   El cilindro tiene siempre dos bases. La distancia de una base a la otra, medida sobre una recta que ha de ser perpendicular a las bases, se llama altura.
    El cono tiene una base circular y una punta que se llama vértice. La distancia desde el vértice, medida sobre una recta perpendicular a la base se llama altura. La distancia que hay desde el vértice a un punto cualquiera de la circunferencia de la base se llama lado del cono.
    La esfera tiene un punto llamado centro que está a la misma distancia de todos los puntos de la superficie. La esfera también tiene radio y diámetro.


 
B- POLIEDROS.
    Los cuerpos geométricos que tienen las caras planas se llaman poliedros.
Se pueden clasificar en: 
1-Prismas.
2-Pirámides.
3-Poliedros regulares.

B-1 Prismas.
  Los prismas son cuerpos que tienen por bases dos polígonos iguales y sus caras laterales son paralelogramos.

Ejemplos: 

 
B-2 Pirámides.
La pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que van a parar a un punto llamado vértice.

B-3 Poliedros regulares.
  Los poliedros se llaman regulares cuando tienen todas sus caras iguales, sus lados iguales y también sus ángulos.


 Ejemplos:



(Corrección  al dibujo: hexaedro por exaedro)



TEMA:  ÁREAS DE POLÍGONOS




El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica.

Áreas de las figuras planas

Área de un triángulo

dibujo
fórmulas

Área de un cuadrado

dibujo
fórmulas ;   A= b x h

Área de un rectángulo

dibujo
fórmulas

Área de un rombo

dibujo
fórmulas

Área del romboide

dibujo
A = b · h

Área del trapecio

dibujo
fórmulas

Área de un polígono regular

dibujo
fórmulas

Área de un círculo

dibujo
fórmula








UNIDAD: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.

1- Proporción numérica.
2- Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres simple directa
3- Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres simple inversa
4- Problemas.

1- La razón entre dos números es el cociente entre esos números, es decir es la división que se establece entre dichos números. Por ello decimos que la fracción 3/4 es la razón entre 3 y 4.
Decimos que los números 2 y 4  forman una proporción con los números 8 y 16  si la razón entre 2 y 4 es la misma que la razón entre 8 y 16.
Decir que dos fracciones son equivalentes es decir que dos razones son proporcionales.

2- Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa.
Decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas también aumenta la otra y cuando al disminuir una disminuye la otra.
Ejemplo. La cantidad de kilos de fruta que se compra y el dinero que se paga.    
               La cantidad de horas que trabajo y el dinero que gano.

3- Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa.
Decimos que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra o cuando al disminuir la primera aumenta la segunda.
Ejemplo. La cantidad de trabajadores que tiene una empresa y el nº de días que tarda en hacer un        trabajo.
                El grifos que se abre para llenar una piscina y la cantidad de horas que se tarda.


4- Problemas.
                              PROBLEMAS DE REGLA DE TRES
1.- Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 € ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
2.- Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?
3.- Trescientos gramos de queso cuestan 6€ ¿Cuánto podré comprar con 4,50€?
4.- Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un
coche a 120 km/h?
5.- Por 5 días de trabajo he ganado 390 euros. ¿Cuánto ganaré por 18 días?
6.- Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en
hora y media?
                                                                         __Proporcionalidad_________________________
7.- Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos
pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?
8.- Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si
mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?
9.- Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de
arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un camión que carga
5 toneladas?
10.- Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una
cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a
las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?
11.- Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le
durará el pienso si se mueren 5 vacas?
I.E.S. Pablo Serrano                                                           
                                                                                            
Proporcionalidad                              ___________________________
12.- En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá
comida si se incorporan 5 niños a la acampada?
13.- Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días.
¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?


5- Porcentajes.
Un tanto por ciento o porcentaje en una determinada cantidad de cada 100 y se expresa añadiendo a la cantidad el símbolo %.
Un porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100 y al nº decimal correspondiente a dicha fracción, por ello para calcular el porcentaje de un nº podemos calcular la fracción de ese nº.
También se puede multiplicar la cantidad a la que queremos calcularle el porcentaje por el nº que acompaña al % y dividirlo por 100.


El método que aquí vamos a utilizar, por su operatividad, será la aplicación de la regla de tres para la resolución de porcentajes ya que no sólo me va a permitir calcular la cantidad correspondiente a un cierto %, sino también el propio porcentaje o la cantidad total.


Ejemplos.
1- En una clase hay 30 alumnos, de los cuales el 20% han ido de viaje. ¿ Cuántos alumnos han ido de viaje?.
2- En una clase hay 30 alumnos, de los cuales han ido de viaje 6. ¿Qué % de alumnos han ido de viaje?.
3- En una clase hay un cierto nº de alumnos, de los cuales 6 han ido de viaje que representan el 20% del total. ¿ Cuántos alumnos hay en la clase en total ?.


                                          
PORCENTAJES
Ejercicio no 1.-
a Halla el número decimal correspondiente a cada uno de estos porcentajes:
             75%    130%      2%    5,3%
b Calcula el 130% de 75.
c ¿Qué tanto por ciento representa 345 de 1 500?
d Halla una cantidad sabiendo que le 12% de ella es 87.
Ejercicio no 2.-
a Calcula el porcentaje correspondiente a las siguientes fracciones:
              7/25      3/20      3/5
           
b Calcula el 28% de 375.
c Halla el tanto por ciento que representa 27 de 216.
d Si el 62% de una cantidad es 93, ¿cuál es la cantidad?
Ejercicio no 3.-
a Expresa en forma de fracción  los siguientes porcentajes:
             70%    35%      10%    150%
b Calcula el 150% de 3 500.
c Halla el tanto por ciento que representa 22 respecto de 25.
d Halla una cantidad sabiendo que el 35% de ella es 224.
Ejercicio no 4.-
a ¿Qué número decimal corresponde a cada uno de estos porcentajes?
             33%    7%     5,4%     145%
b Calcula el 7% de 5 420.
c Calcula el tanto por ciento que representa 78 de 125.
d Si el 20% de una cantidad es 69, ¿cuál es la cantidad?
Ejercicio no 5.-
a Halla el porcentaje que corresponde a cada uno de estos números decimales:
             0,78   1,45    0,03    0,235
b Calcula el 3% de 13,5.
c Calcula el tanto por ciento que representa 925 de 1 250.
                                                                             
d El 86% de una cantidad es 43. Halla esa cantidad.

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJE
1-El 8% de los mensajes de móviles se realizan en las horas centrales del día. Si un día cualquiera se mandan 40.000 mensajes. ¿Cuántos de estos mensajes se mandan en las horas centrales del día?.

2-Un equipo de baloncesto tiene el siguiente porcentaje de aciertos en tres de sus jugadores: Luis un 37%: Alberto, un 68% y Juan un 57%. En el partido Juan lanza 70 veces; Alberto 30 veces y Luis 60 veces.¿Cuántos acieros tiene cada uno de ellos en ese partido?.

3- En un instituto están matriculado un 65% en ESO; de ellos el 30% estudian francés y el resto de los que quedan estudian plástica. si el instituto tiene 1200 alumnos se pide:
a- Calcula el nº de alumnos que estuidan francés.
b- El nº que estudia plástica.4-
4-De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
5-Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
6-Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
7-Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
8-Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.
9-Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
10-¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?
11-Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.


FICHA 1: PROPORCIONALIDAD
1.- Indica si hay proporcionalidad directa, inversa o si no hay ninguna
proporcionalidad:
a) Cantidad de personas que viajan en un autobús y dinero recaudado.
b) Cantidad de refrescos que caben en una caja y diámetro de las botellas.
c) Número de litros que escapan por segundo en el desagüe de una piscina y
diámetro del desagúe.
d) Velocidad media de un ciclista y distancia recorrida.
e) Número de vueltas que da una rueda para recorrer una distancia y diámetro de
la rueda.
f) Número de comensales para zamparse una tarta y cantidad que corresponde a
cada uno.
g) Tiempo que tarda un balón en caer al suelo y altura desde la que se lanza.
h) Número de horas que está encendida una bombilla y gasto que ocasiona.
i) Número de peldaños de una escalera móvil de altura fija y separación entre
ellos.
j) Número de peldaños de una escalera de altura fija y anchura de ellos.
k) Numero de goles marcados por un equipo y partidos ganados.
2.- ¿En qué casos de los siguientes las magnitudes son directa o inversamente
proporcionales. Justificar respuesta.
a) Velocidad de un coche y tiempo empleado en hacer un recorrido.
b) Peso de carne y precio a pagar por ella.
c) Espacio recorrido por un coche y tiempo empleado en recorrerlo.
d) Número de pintores y tiempo empleado en pintar una valla.
e) Número de desagües de un depósito y tiempo empleado en vaciarlo.
3.- Di si los pares de magnitudes siguientes son directa o inversamente
proporcionales.
a.- El tiempo de funcionamiento de una máquina y la cantidad de electricidad que
consume.
b.- En las taquillas de un estadio deportivo, el número de ventanillas abiertas
y el tiempo de espera en la cola.
c.- Las llamadas telefónicas que se han efectuado y su importe.
d.- La velocidad del procesador de un ordenador y el tiempo que tarda en
procesar la información.

FICHA 2: PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE
(DIRECTA E INVERSA)
4) Regla de tres directa:
a) 35 ordenadores valen 42.000 euros. ¿Cuánto valen 40 ordenadores? ¿Cuánto vale
1 ordenador?.
b) En una hora realizo 12 ejercicios, ¿Cuánto tardo en realizar 51 ejercicios?
5) Regla de tres inversa:
a) Nueve trabajadores cargan un camión en 2 horas. ¿Cuánto tardan seis
trabajadores?
b) Si tardo 2 horas en llegar a Madrid con una velocidad de 100 Km/h. ¿Cuánto
tardo con una velocidad de 120 km/h?
6) Problemas de regla de 3 (directa e inversa)
a) Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.
¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
b) Un kilopondio son 9,8 Newton. ¿Cuántos kp son 20 Newton?
7) Problemas de regla de 3 (directa e inversa)
a) Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minutos. Si sigue al
mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?
b) Para recorrer los 360 km que hay entre Madrid y Valencia un coche tardó 3
horas a una velocidad de 120 km/h. Si disminuye la velocidad a 100 km/h,
¿cuánto tardará?
c) En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se taran 6 días en servir
un pedido. ¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias?
d) Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan 12 euros, ¿cuánto pagaré por 1,5
kg?
e) El coche recorre 309 km en 3 horas ¿cuántos kilómetros recorre en 7 horas?, ¿y
en una hora?

FICHA 3: PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE
(DIRECTA E INVERSA)
8) Por tres horas de trabajo, Pedro ha cobrado 60 euros. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
9) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán con la ayuda de
dos obreros más?.
10) Tres kilogramos de carne cuestan 6 euros. ¿Cuánto podré comprar con 4,5 euros?.
11) Una moto va a 50 km/h y tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto
tardará un coche a 120 Km/h?.
12) Por 5 días trabajados Juan ha ganado 390 euros. ¿Cuánto ganará por 18 días?
13) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas
llenará en hora y media?
14) Una moto que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos
pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?.
15) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad
de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un
camión que carga 5 toneladas?.
16) Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto
tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas?
17) Para hacer una tarta de queso de 3 kilos hemos de utilizar 1,20 kilos de queso.
¿Cuánto queso hemos de utilizar para hacer una tarta de 4,5 kilos?
18) Si 46 papeleras cuestan 368 euros, ¿cuánto cuesta cada papelera?
19) Un edificio es construido por una cuadrilla de 15 albañiles en 200 días. ¿Cuántos
albañiles tendré que añadir a la cuadrilla para poder terminar el trabajo en 150 días?
20) Si por una prenda de ropa que costaba 80 euros he pagado 60 euros, ¿Qué porcentaje
de descuento me han hecho?

FICHA 4 (PORCENTAJES)
21) Calcula en cada caso;
a) el 25% de 1200 =
b) el 75% de ______ = 27
c) el ___% de 500 = 80
22) En un pueblo de 9800 habitantes el 56% son mujeres. ¿Qué porcentaje de varones
hay? ¿Cuántos varones son?
23) Una camisa vale 40 euros. Me hacen una rebaja del 10%. ¿Cuánto debo pagar?.
24) Un artículo se rebaja de 2.700 euros a 2.400 euros. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?
25) Una camisa valía 72 € antes de las rebajas. ¿Cuánto costará si le aplican un
descuento del 30%? ¿Cuánto la han rebajado?
26) Al comprar un producto nos rebajan un 8 %. Pagué 48.000 euros. ¿Cuál era el
precio original?.
27) En un escaparate he visto el precio de un ordenador: 1000 euros + 16% de IVA.
¿Cuánto cuesta el ordenador?. Si sobre el precio total me hacen un descuento del 5%
¿Cuánto debo pagar por el ordenador?
28) El precio de una lavadora es 300 euros (IVA incluido). Si el comerciante decide no
cobrarme el 16 % de IVA. ¿Cual es el precio de la lavadora sin IVA?.
29) Al abonar la carrera de un taxi decido pagar un 10% más del precio, costándome
8,25 euros. ¿Cual era el precio que señalaba el taxímetro?.
30) Calcula lo que le rebajan a una persona que debe 3425 euros, si se le hace una
rebaja del 3% por ser buen cliente.

FICHA 5 (Repartos directa e inversamente proporcionales)
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
31) Por hacer un trabajo tres obreros han cobrado 20.400 euros. Uno trabajo 15 días,
otro 12 días y el tercero 6 días, sin coincidir ningún día trabajando. ¿Cuánto le
corresponderá a cada uno?.
32) Un padre reparte entre sus tres hijos 144 € de forma directamente proporcional a sus
edades, que son 14, 12 y 10 años, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a
cada uno de ellos?
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
33) Un padre reparte entre sus tres hijos 420 € de forma inversamente proporcional a
sus edades, que son 3, 5 y 6 años, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a
cada uno de ellos?
34) Repartir 20.000 en partes inversamente proporcionales a 2, 4 y 8.
PROBLEMAS PROPORCIONALIDAD (Repaso)
35) Ana trabaja de comercial de una empresa de manera que cobra el 5% del importe de
ventas que realiza. ¿Cuánto necesita vender para ganar 2.404 euros?
36) Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una
cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto
dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?
37) Un agricultor labra una determinada superficie en 12 horas utilizando dos tractores.
¿Cuánto tardará en labrarla si utiliza tres tractores?
38) Una receta de tarta de manzana nos especifica los siguientes ingredientes para 6
personas:
· 365 g. de harina
· 4 huevos
· 300 g. de mantequilla
· 250 g. de azúcar
· 6 manzanas
Calcula los ingredientes necesarios de una tarta de manzana para 15 personas.
39) Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días.
¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 4 días?
40) He comprado un teléfono móvil por 40 euros. ¿A que precio debo venderlo para
obtener un beneficio del 10%?


 DECIMALES
1- Lectura y escritura de números decimales.
2- Comparación de números decimales.
3- Números decimales y  fracciones decimales.
5- Números decimales comprendidos entre dos números decimales.
6- Suma y resta de números decimales.
7- Multiplicación de números decimales.
8- Aproximación y estimación de números decimales.
9- División de números decimales.
10- Problemas


1- Lectura y escritura de números decimales.

Para leer números decimales, seguimos el siguiente esquema:
Primero leemos la parte entera del nº y decimos a continuación unidades o enteros y después pasamos a leer la parte decimal colocando al final el nombre del lugar que ocupa la última cifra.
ejp. 3,098- tres unidades o enteros y noventa y ocho milésimas.

2- Comparación de números deccimales.

Ejemplo. Compara los siguientes números decimales, ordenando de menor a mayor.

3- Números decimales y fracciones decimales.

    a- Transformar un nº decimal en fracción decimal.

    b- Transformar una fracción decimal en nº decimal.

4- Números decimales comprendidos entre dos números decimales.
El conjunto de los números decimales en un conjunto denso, porque entre dos números decimales siempres hay otro nº decimal.

Ej. Escribe un número decimal comprendido entre 3,4 y 3,5......3,4<  3,41< 3,5     Entre 3,41< 3,42<3,5           3,42<3,43<3,5
4- Suma y resta de números decimales.

5- Multiplicación de números decimales.

6- División de números decimales.



DIVISIONES:

1- 4316: 2,5
    64: 0,005
    143: 0,015
    3: 0,006
    71: 0,025
    24: 1,6
    34: 2,5
    5. 0,0025
    102: 1,2
    70: 1,75
    18: 0,75
    324: 1,5
    259: 7,3
    3504 : 1,25
    1035: 0,22
    9783. 4,8
    3. 0,0002
    14: 0,7
    125: 1,2
    431: 2,41
2-
  1. 45,23:21
  2. 6435,3: 31
  3. 8431,5: 24
  4. 16,1616 : 16
  5. 684,13 : 64
  6. 1943,05 : 64
  7. 843,1643 : 15
  8. 74,074 : 31
  9. 843,13 : 42
  10. 6431,6 : 32
3-
  1. 24,5 : 3,5
  2. 4,8 :  0,6
  3. 3,72 : 1,24
  4. 13,8 : 3,45
  5. 0,9 : 0,15
  6. 2,73 : 0,21
  7. 4,315 : 4,1
  8. 6, 435 :  32
  9. 8, 4343 : 0,81
  10. 0,64323 : 0,034
4-
  1. 64 : 8000
  2. 169 : 130000
  3.  625 : 25000
  4. 0, 025 :5
  5. 0,0169 : 13
  6. 144 : 1,2
  7. 0,729 : 8,1
  8. 0,00009 : 30
  9. 2,25 : 0,15
  10. 0,000576 : 2,4






FRACCIONES
1- CONCEPTO DE FRACCIÓN.
Una fracción es el cociente exacto de dos números, el la que el número que se encuentra en la parte superior se llama numerador y el de la parte inferior denominador
También podemos decir que una fracción indica una o varias partes en las que se divide la unidad, siendo el denominador las partes iguales en las que se ha divido la unidad y el numerador las partes que tomamos.

2- CÁLCULO DE  LA FRACCIÓN DE UN NÚMERO.
Para calcular la fracción de un nº se divide dicho nº por el denominador de la fracción y el resultado se multiplica por el numerador.
3/4 de 60= 60:4x 3= 15x3= 45

3- COMPARACIÓN DE FRACCIONES RESPECTO A 1
a- Una fracción es mayor que 1 cuando su numerador es mayor que el denominador.
b- Una fracción es menor que 1 cuando el numerador es menor que el denominador.
c- Decimos que una fracción es igual a 1 cuando el numerador y el denominador son iguales.

4- COMPARACIÓN DE FRACCIONES.
a- Cuando dos fracciones tienen iguales su numerador y su denominador decimos que ambas vale 1 y por lo tanto son iguales.
b-De dos fracciones de igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador.
c-De dos  fracciones de igual numerador es mayor la que tiene menor numerador.

5- COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON DIFERENTES NUMERADORES Y DENOMINADORES.
Para comparar fracciones que tienen diferentes numeradores y denominadores, hemos de transformarlas en fracciones de igual denominador, para ello procedemos del siguiente modo:
- Hallamos el mcm de los denominadores.
- Escribimos el mcm como denominador de todas las fracciones.
- Dividimos el mcm entre el primer denominador y el resultado lo multiplicamos por el primer numerador ( procedemos así con cada una de las fracciones.
- Una vez que todas las fracciones tengan el mismo denominador ya podemos compararlas; ya que cuando las fracciones tiene el mismo denominador es mayor la de numerador mayor.

6- SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DIFERENTES DENOMINADORES.
Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores hemos de proceder como en el apartado anterior y una vez que dichas fracciones tengan el mismo denominador las sumaremos o restaremos según se indique.

7- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES.

Para multiplicar fracciones tenemos que multiplicar todos los numeradores y el producto obtenido será el numerador de la nueva fracción; después de igual modo haremos con los denominadores, siendo ésto el denominador de la fracción resultante.

Al dividir fracciones hemos de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, obteniendo así el numerador de la fracción resultante y después multiplicaremos el numerador de la segunda por el denominador de la primera y así obtenemos el denominador de la fracción buscada.

8-FRACCIONES DECIMALES.
Es aquella cuyo denominador es la unidad seguida de ceros, y podemos transformarla en un nº decimal dividiendo el numerador entre el denominador.

9-FRACCIONES EQUIVALENTES.
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.
Para calcular si dos fracciones son equivalentes podemos proceder del siguiente modo: se multiplican en cruz ambas fracciones y si el resultado es el mismo son  equivalentes.

10-CÁLCULO DE FRACCIONES EQUIVALENTES.Para hallar una una fracción equivalente a otra podemos hacerlo multiplicando el numerador y el denominador por un mismo nº. También podemos dividir el numerador y el denominador por un divisor común a ambos.

11- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción hasta su expresión irreducible consiste en obtener aquella fracción equivalente a ésta cuyo numerador y denominador ya no tiene ningún divisor común excepto el 1.  Para ello calculamos el MCD del numerador y el denominador de la fracción que queremos simplificar y después dividiremos ambos términos por el MCD obteniéndose así una fracción equivalente a la anterior e irreducible ya que no podemos simplificarla más.


12-NÚMEROS MIXTOS.
Para transformar una fracción en un nº mixto, ésta ha de ser mayor que la unidad.
Para ello procedemos del siguiente modo:
Descomponemos la fracción en dos fracciones con igual denominador, de forma que, al menos, una de ellas tenga igual numerador que denominador y la otra recoja el valor que falta en el numerador.
Para transformar un nº mixto en una fracción, multiplicamos el nº natural del nº mixto por el denominador de la fracción de éste y le sumamos el numeador; el resultado obtenido lo colocamos como numerador de la nueva fracción y dejamos el mismo denominador.


ILUSIONES ÓPTICAS
No te dejes llevar por los sentidos, agudiza tu mente . Nada es lo que parece.     ¿0 sí ?  



¿ DE CUÁNTAS FORMAS DIFERENTES SABES MULTIPLICAR?.
Ya sabes multiplicar perfectamente, aunque seguro que desconoces que el método que utilizas no es el único y que a lo largo de la historia se ha realizado esta operación de diferentes formas. Aquí te presento otras maneras de multiplicar.

Practica y diviértete

Método ruso

Consiste en:
  • Escribir los números (A y B) que se desea multiplicar en la parte superior de sendas columnas.
  • Dividir A entre 2, sucesivamente, ignorando el resto, hasta llegar a la unidad. Escribir los resultados en la columna A.
  • Multiplicar B por 2 tantas veces como veces se ha dividido A entre 2. Escribir los resultados sucesivos en la columna B.
  • Sumar todos los números de la columna B que estén al lado de un número impar de la columna A. Éste es el resultado.
Ejemplo: 27 × 82
A B Sumandos
27 82 82
13 164 164
6 328
3 656 656
1 1312 1312
Result: 2214


PARA QUE JUEGUES
SERIES NUMÉRICAS.-
  A continuación tienes una tabla con series numéricas a las que les falta varios elementos, señalados con un interrogante.
 
Se trata de completarlos adivinando los números que faltan en cada una de la casillas libres.
 
Obsérvalos bien y tómate un tiempo para pensarlo porque no salen a la primera.
 



























16 64 144 ? ? ?
0 3 15 63 ? ? ?
10 18 34 66 ? ? ?
7 9 13 ? 37 ? ?
285 253 221 189 ? ? ?
5 10 15 25 40 ? ?
2 3 5 8 13 ? ?
12 8 14 7 16 ? ?
0 3 8 15 ? 35 ?
3 7 16 35 ? ? ?
53 48 50 45 47 ? ?
1 2 5 26 ? ? ?
0 16 64 144 ? ? ?
0 3 15 63 ? ? ?
381 378 373 366 ? ? 333
!QUÉ DIVERTIDO¡
Juega y verás todo lo que aprendes


PARIDAS MATEMÁTICAS
¿Por qué se suicidó el libro de mates? Porque tenía demasiados problemas.   ¿Cuántos lados tiene un círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.
La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

En Nueva York un hombre es atropellado cada diez minutos. El pobre tiene que estar hecho polvo.
La tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es inmortal.
Cientos de niños mueren de hambre durante una clase de matemáticas. ¡Estudia filosofía!
En la inmensa mayoría de los accidentes de circulación, los coches involucrados llevan un conductor. Por lo tanto, la forma mas segura de viajar en coche es sin conductor. El no tener hijos es hereditario; si tus padres no tuvieron ninguno, lo mas probable es que tu tampoco los tengas.
¿Oíste hablar de ese experimento que hicieron para ver si trabajar con ordenadores es malo para la salud? Metieron a tres ratas dentro de una jaula al lado de un ordenador, y lo dejaron encendido durante dos meses. - ¿Y las ratas se pusieron enfermas? - No, pero escribieron tres nuevas versiones mejoradas del UNIX.
¿Sabéis quien es la patrona de los informáticos? - Santa Tecla No es cierto que los ordenadores y los humanos usen sistemas incompatibles para contar. Lo que pasa es que nadie se había dado cuenta de que los pulgares son bits de paridad.
¿Cual és la mejor forma de acelerar un Macintosh? -9.8 m/s^2
¿Sabes cuál es el virus mas extendido del mundo? El Sistema MS-DOS
Eres más inútil que un teclado sin ENTER.







MÚTIPLOS Y DIVISORES
1- Concepto de múltiplo.
Se llama múltiplo de un nº a aquel que obtenemos al multiplicar ese nº por cualquier otro.
Ejemplo.
Escribe 5 múltiplos de 2.    2, 4, 6, 8, 10.

2- Concepto de divisor.
Decimos que un nº es divisor de otro cuando al dividirlo la división que se obtiene es exacta.

Ejemplo.
Escribe 5 divisores de 250.         2,  5,  10,  25, 250, ya que al dividir 250 entre cada uno de estos números se obtiene una división exacta.

Si un nº es múltiplo de otro, éste a su vez es divisor del anterior.
Ejemplo.   20 es múltiplo de 5, así que 5 es divisor de 20.

 Consecuencias de la definición de múltiplo y divisor
1.             El uno es divisor de cualquier número
2.             Todo número es múltiplo y divisor de si mismo
3.             El cero no es divisor de ningún número
4.             El cero es múltiplo de cualquier número
5.             El cero es el único múltiplo de cero
3.                     Criterios de divisibilidad

      •                 Un número es divisible entre dos si acaba en cero o cifra par
      •                 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es tres o múltiplo de tres
      •                 Un número es divisible entre 5 si acaba en  cero o en cinco
      •                 Un número es divisible por 10, 100.1000… si acaba en un cero, dos ceros…
      •       Un número es divisible entre 11...   
                                  - Si tiene dos cifras éstas han de ser iguales (22,  33,   44,....)
                                  - Si tiene tres cifras, la suma de las cifras de los extremos ha de dar igual a la cifra intermedia.
                                  - Si tiene cuatro cifras o más, la suma de las cifras que ocupan los lugares pares al restarlo con la suma de las cifras de los lugares impares han de dar cero, o un múltiplo de 11, etc.



Otros criterios de divisblilidad

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
36, 400, 1028.

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por  2  y  por  3.
72, 324, 1503

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
4000, 1048, 1512.

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
81
8 + 1 = 9
3663
3 + 6 + 6 + 3 = 18, es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de  25.
500, 1025, 1875.

Criterio de divisibilidad por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de  125.
1000, 1 125, 4 250.

4.                      Números primos y compuestos

Un número es primo si no tiene más divisores que el mismo y la unidad.
Un número es compuesto cuando tiene tres o más divisores.
Los números primos de 0 a 100 son:

2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 7,71, 79, 83, 89, 97.

5.                     Descomposición factorial en factores primos
La descomposición factorial de un número en factores primos consiste en expresar el número como producto de  números primos o potencias de números primos.
Para hacer la descomposición factorial de un número se empieza dividiendo entre dos si es posible todas las veces que sea necesario, luego entre tres, 5,7...hasta que el cociente sea 1.
Ejemplo:
60
30
15
5
1
2
2
3
5

                 60 = 22 ·3 ·5

6.             Cálculo de los divisores de un número

Para  calcular los divisores de un número se procede del siguiente modo:
1.              Se hace la descomposición factorial en factores primos
2.              Se escriben los factores primos obtenidos incluido el uno, y después los productos de dos factores primos de todas las formas posibles, de tres factores primos así sucesivamente hasta acabar.
Ejemplo: Calcular los divisores de 48:
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
    


                  Los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 24 ,48
                  Los productos posibles son: 2x2; 2x3; 3x3;
                   2x2x2; 2x2x3; 2x2x2x2; 2x2x2x3; 2x2x2x2x3
                
7.                     Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes.
Para calcular el máximo común divisor (M.C.D) se siguen los siguientes pasos:
              
1)             Se efectúa la descomposición factorial de los números.
2)             Se eligen los factores primos comunes con los menores exponentes
3)             El máximo común divisor (M.C.D.) es el producto de los factores elegidos
Si  no hay ningún factor común el M.C.D. es la unidad y los números son primos entre si.

Ejemplo: Halla el M.C.D. (60, 45, 36)
36
18
9
3
1
2
2
3
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45
15
5
1
3
3
5

  
desc    M.C.M (60, 45,36) = 22· 3= 12

8.                     Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes.
Para calcular el (M.C.M) se siguen los siguientes pasos:
              
1)             Se efectúa la descomposición factorial de los números.
2)             Se eligen los factores primos comunes con los mayores exponentes y también los factores primos no comunes en todos ellos, siempre al mayor exponente.
3)             El mínimo común múltiplo (M.C.M.) es el producto de los factores elegidos.

Ejemplo: Halla el M.C.M. (60, 45, 36)
36
18
9
3
1
2
2
3
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45
15
5
1
3
3
5

  
desc    M.C.M (60, 45,36) = 22· 32· 5 = 4. 9. 5= 180


9.                     Números Primos entre sí.

Decimos que dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el 1, es decir; su M.C.D. es 1

Ejemplo. 
 De los siguientes pares de números indicar cuales son primos entre sí.
a- 12 y 17.
M.C.D = 1
Son primos entre sí.
b- 24 y 16
M.C.D= 8
No son primos entre si, pues su M.C.D es diferente de 1.

Criba de Erastóstenes
Es una tabla denominada también "Tabla de los números absolutos" y nos permite obtener los primeros números primos. Erastótenes estableció un método para obtener los números primos, hasta un cierto límite. La regla es la siguiente.
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1. Se tacha los números pares hasta un límite prefijado, excepto el
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20


mismo 2.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

2. Se tacha los números múltiplos de 3, excepto el mismo 3.
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

3. Se tacha los números múltiplos de 5, excepto el mismo 5.
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

4. Se tacha los números múltiplos de 7, excepto el mismo 7.
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60

5. Se tacha los números múltiplos de 11, excepto el mismo 11.
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70

6. Se tacha los números múltiplos de 13, excepto el mismo 13.
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80

7. Se tacha los números múltiplos de 17, excepto el mismo 17.
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90

8. Se tacha los números múltiplos de 19, excepto el mismo 19.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
9. Se sigue así indefinidamente.





















Ahora pasamos en limpio los números que quedaron sin tachar.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...












  

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